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Normal Distribution 정규 분포

1. 정규 분포 또는 가우시안 분포

  ㅇ 자연과학,공학의 통계적 방법에서 가장 많이 이용되는 대표적 확률분포
     - 오차들의 분포 등 많은 자연현상을 매우 잘 표현하는 이상적인 수학적 확률모형
     - 일상생활의 키,몸무게,제품수명 등의 자료분포가 정규분포에 매우 근사적으로 접근

  ㅇ 평균을 중심으로 좌우대칭인 종(鐘,bell) 모양을 갖는 확률 분포


2. 용어 명칭

  ㅇ 공학자는 `가우시안 분포`라고 하며, 수학자는 `정규 분포`라고 말함
     - 1809년 독일수학자 가우스가 천체 위치의 측정 오차 분포를 이것으로 설명
  ㅇ 기타 많은 수학자가, 종 모양(bell-shaped)의 거의 모든 분포가 가우스 분포를 가
     지며, 이것을 정규 분포(normal distribution)라고 부름


3. 정규분포 모양/형태/특징

  ㅇ `평균`, `분산`  2개 만의 변수로 설명이 가능 
     -   X ~ N(μ,σ²)
     - 정규분포 곡선은 분포 중심인 평균, 분포 폭인 분산(또는 표준편차 σ)에 의해 결정

  ㅇ 확률밀도함수는 종형(bell-shape) 모양의 대칭적 분포를 가짐
     - 평균값 μ을 중심으로 좌우대칭, 가운데에 위치한 값이 최대값
     - 정규분포를 따르는 데이터는 전체의 99.7%가 평균으로부터 ±3σ 범위내에 존재

  ㅇ 분산이 같으면 평균이 변하더라도 분포의 모양이 변하지 않음
     - 분산값이 클수록 굵고 평평한 종모양 형태이며, 작을수록 가늘고 뾰족한 형태
       
 


4. 정규분포 주요 특성

  ㅇ 표기           :  X ~ N(μ,σ²)
     - 두 개의 모수 μ(평균),σ²(분산)에 의해 결정되는 확률적 분포

  ㅇ 확률밀도함수 (Probability Density Function, PDF)
       
 
       


  ㅇ 평균(기대값)   :  E[X] = μ 

  ㅇ 분산(Variance) :  Var[X] = σ²

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Standard Normal Distribution  표준 정규분포

1. 표준 정규분포 (Standard Normal Distribution) ㅇ 다양한 종(Bell) 모양의 정규분포를 평균이 0 이고 표준편차가 1 로 규격화시킨 것 2. 표준 정규분포로의 변환 ㅇ 정규분포(가우시안 분포)의 불편함 - 평균 및 표준편차 값에 따라 중심 위치 및 전체 모양이 달라짐 . 2 이상의 정규분포를 서로 비교할 때 또는 확률값 계산할 때에 매우 불편 ㅇ 따라서, 모든 정규분포를 다음과 같이 표준적인 정규분포로 변환하여 사용이 바람직 - 즉, 평균이 0 이고, 표준편차가 1로 변환된 정규화된 분포 => 표준정규분포 . 어떤 관찰값이 평균으로부터 표준편차의 몇 배 만큼 떨어져 있는가의 척도

ㅇ 표준정규분포 및 정규분포 공통점 - 평균을 중심으로 좌우대칭이고 종 모양을 하는 점이 똑같으며, - 또한, 전체 면적이 1 이고, 각 σ 만큼의 면적이 변환 전후에도 같음 3. 표준정규분포 확률값 구하기 ㅇ 면적 계산 => 대부분의 통계책 부록에 있는 표준정규분포표(Z table)을 이용 - 표준정규분포표(Z-table) : 특정 Z 값에서의 면적 수치를 표로 보여줌 4. 표준화된 확률변수 (Standardized Random Variable) ㅇ 임의의 확률변수 X를 변환시켜, 그 확률분포에 관계없이 평균 μ= 0, 분산 σ²= 1 이 되게하는 확률변수 - 이러한 정규화 변환을 `Z 변환`이라고도 한다. ☞ z 값 참조 . 확률변수 X를 Z로 변환시킴

5. 표준 정규분포 특성 ㅇ X ~ N(0,1) - 평균이 0 이며, 분산이 1 로써 표준화된 정규분포 ㅇ 확률밀도함수 (PDF)

ㅇ 누적분포함수 (CDF)

* 위 확률함수는 해석적이 아닌 수치적으로 구해지기 때문에 새로운 Q 함수 를 정의하여 이용함

6. 일반 정규분포 특성 ㅇ 일반 정규분포의 확률밀도함수(PDF)

ㅇ 일반 정규분포의 누적분포함수(CDF)

ㅇ 일반 정규분포의 확률값

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